Crescimento Decrescimento de Funções

No estudo das derivadas, uma importante aplicação é aquela que se refere ao crescimento e decrescimento de uma função.

De modo intuitivo, dizemos que uma função é crescente quando o seu gráfico, quando olhado da esquerda para a direita, sempre “sobe”; a função é dita decrescente quando o gráfico, observado da esquerda para a direita, “desce”. Caso nenhuma dessas duas condições ocorra, dizemos que a função é constante e o seu gráfico será horizontal.

A seguir, veja um exemplo de uma função crescente:

Perceba o comportamento da função ao longo do eixo x:

- em ]-∞;-1[ a função é decrescente;

- em ]-1;1[ a função é crescente;

- em ]1;+∞[ a função é decrescente.

Para sabermos, analiticamente, o comportamento de uma função com relação ao seu crescimento e decrescimento, devemos analisar o comportamento da primeira derivada dessa função.

Teorema - Crescimento e Decrescimento

Seja uma função f, definida no conjunto dos reais, contínua no intervalo ]a,b[ e derivável em todos os pontos desse intervalo. Seja f'(x) a primeira derivada da função f(x):

a) Se f’(x)>0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será estritamente crescente no intervalo ]a,b[.

b) Se f’(x)<0 para todo x pertencente ao intervalo ]a,b[, então a função f será estritamente decrescente no intervalo ]a,b[.

Estudo da Concavidade de uma Função

Uma função pode apresentar dois tipos de concavidade: para cima ou para baixo.

- Exemplo de uma função com a concavidade para cima:

- Exemplo de uma função com a concavidade para baixo:

Exemplo das concavidades em uma função

Vejamos o gráfico a seguir que representa a função f(x) = -x⁵ + 2x⁴ + x³ – 2x² – x.

Vamos identificar os pontos em que ocorre a mudança de concavidade:

Para facilitar, vamos considerar alguns valores hipotéticos no eixo x:

A partir desse gráfico, podemos dizer que a função f possui:

- concavidade para cima no intervalo ]-∞;a[ ;

- concavidade para baixo no intervalo ]a;b[ ;

- concavidade para cima no intervalo ]b;c[ ;

- concavidade para baixo no intervalo ]c;+∞[ .

Note, portanto, que os pontos A, B e C correspondem à mudança de concavidade da função f. Esses pontos são chamados de pontos de inflexão.

Exemplo 7

Fazer o estudo das concavidades da função f(x) = 1/x .

Exemplo 8

Fazer o estudo das concavidades da função  f(x) = -x⁴ + x³.  

Exemplo de Crescimento, Decrescimento e Concavidades

Exemplo 9

Fazer o estudo do crescimento e decrescimento da função f dada a seguir. Depois, fazer o estudo das concavidades.